2.6　平行投影と透視投影

　3次元物体を2次元で表現するには投影が必要である。投影法としては、平行投影と透視投影がある。他に、斜投影、軸測投影があるが省略する。（文献3参照）。

(1)　平行投影

　平行投影の中で簡単なものに正投影がある。x-y平面（他のy-z、z-x平面でも同様）を投影面とすると、正投影はz座標を0とすることにより簡単に得られる。すなわち、変換行列は、

　　(2.13)

(2)　透視投影

　3次元物体を眺めた場合、図1.1のように、近くが大きく、遠方が小さく見える。こうした効果を表現できる投影法を透視投影(perspective projection)という。

　簡単のため、投影面がx-y平面で、投影中心（視点に相当）がz軸上（原点から距離R）にある場合の、点P(x, y, z)の透視投影について説明する。図2.6のように、点Pが投影面に投影されたときの点をP'(x', y', z')とすると、三角形の相似から、次式が得られる。

　　(2.14)

　これを同次座標で表現すると、次式で表される。

　　(2.15)

　上式からが得られるから、x', y', z'をHで割って正規化すると式(2.15)が得られる。次に任意の点（すなわち視点）を投影中心とし、任意の点（注視点）を含む平面への投影を考える。視点を注視点からの距離R、方位角θ、仰角で指定するとする（図2.7参照）。

図2.7：透視変換

　この変換は、まず

(a)　注視点を原点とするように平行移動し、

(b)　視線（注視点と視点を結ぶ直線）が、投影面に垂直になるように回転する。

(c)　最後に投影面への透視投影をする。

　前述の4×4の変換行列で表現するのが理想であるが、その場合演算数が多くなるので、ここでは、通常のマトリクスで表現する、移動と回転を組み合わせた式は、

　　(2.16)

となる。投影面での座標系での投影された点Pを()とすると、式(2.15)の考え方により、

　　(2.17)

となる。ここで分母の(R-z'')は視点からの奥行きに相当する。

　図2.8は、この透視投影法を適用したものである。

図2.8:　透視図形